Teoria Moderna del Portafoglio: la nascita dell' Asset Allocation

«A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies».

Harry Markowitz

L'Asset Allocation è un concetto che si sviluppa a partire dal lavoro di Harry Markowitz, che nel suo articolo del 1952 intitolato Portfolio Selection, getta le basi della Teoria Moderna del Portafoglio (Modern Portfolio Theory).

Indice

• Introduzione
• Rischio e rendimento di un portafoglio di due strumenti finanziari rischiosi
• Rischio e rendimento di un portafoglio rischioso con investimento in uno strumento privo di rischio
• Rischio e rendimento di un portafoglio di più di due strumenti finanziari rischiosi
• Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe

Introduzione

Markowitz è il primo studioso a formalizzare matematicamente la nozione di diversificazione degli investimenti, che da quel momento in poi diventerà una vera e propria strategia di investimento.

Attraverso il processo di Asset Allocation e grazie ai benefici della diversificazione è possibile ridurre il rischio di un portafoglio senza modificarne il rendimento atteso.

Il rischio viene definito da Markowitz come la varianza dei rendimenti: scegliendo la giusta combinazione di strumenti finanziari e dei relativi pesi, si può identificare un portafoglio efficiente per ogni livello di rendimento atteso: il portafoglio efficiente è quello con la varianza dei rendimenti più bassa.

L’aspetto più importante e innovativo del lavoro di Markowitz è quello di spostare l’ottica di osservazione dai singoli titoli all’insieme di strumenti finanziari posseduti dall'investitore. Non è importante il rischio del singolo strumento quanto il contributo che tale strumento apporterà alla varianza – ovvero al rischio – dell’intero portafoglio.

In altre parole, la covarianza del singolo strumento con quelli che compongono il resto del portafoglio gioca un ruolo fondamentale nel determinare il rischio complessivo dell'investimento.

Non è un’innovazione marginale: la decisione di investire o meno in un certo titolo dipenderà non tanto da un confronto generico del suo rendimento atteso e della sua varianza con quella di altri titoli, quanto da quali altri strumenti l’investitore vorrà includere nel proprio portafoglio.

In questo articolo, applicheremo il processo di ottimizzazione sviluppato da Markowitz sia ad esempi teorici che ad alcuni casi pratici, utilizzando serie storiche dei rendimenti di strumenti finanziari reali.

Rischio e rendimento di un portafoglio di due strumenti finanziari rischiosi

Si ipotizza che l’investitore impieghi interamente la propria disponibilità finanziaria.

Il rendimento atteso di un portafoglio formato da due titoli a e b è pari alla media dei rendimenti dei due titoli ponderata con i rispettivi pesi:

r_p = x_ar_a + x_br_b

Dove:

r_p = Rendimento del portafoglio
r_a = Rendimento del primo titolo
r_b = Rendimento del secondo titolo
x_a = Peso del primo titolo
x_b = 1 – x_a = Peso del secondo titolo

Un po’ più complesso è il calcolo della varianza del portafoglio, che utilizziamo come misura del rischio.

Essa è pari a:

σ_p² = x_a²σ_a² + x_b²σ_b² +2x_ax_bσ_ab

Dove:

σ_p² = Varianza dei rendimenti del portafoglio
σ_a² = Varianza dei rendimenti del primo titolo
σ_b² = Varianza dei rendimenti del secondo titolo
σ_ab = Covarianza tra i rendimenti del primo e del secondo titolo

Per calcolare la deviazione standard del portafoglio basterà estrarre la radice quadrata della varianza.

A differenza del rendimento atteso, la deviazione standard del portafoglio, che ne misura il rischio, non è una semplice media delle deviazioni standard dei due titoli ponderata con i relativi pesi: entra in gioco la covarianza tra i titoli a e b, che può essere positiva, negativa o nulla, a seconda di come i rendimenti di a e b co-variano tra loro.

Vale la pena analizzare i classici casi estremi in cui la correlazione lineare tra i due titoli che compongono il portafoglio è pari a +1, −1 e 0 (d’ora in avanti, quando parleremo di correlazione faremo sempre riferimento alla correlazione lineare).

Correlazione = +1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso teorico)

I punti lungo la linea blu misurano i livelli di rischio e rendimento atteso di un portafoglio composto da due titoli con correlazione lineare pari a +1.

Il punto più in basso a sinistra della linea blu individua il portafoglio composto al 100% dal titolo a: la deviazione standard è pari al 3% e il rendimento atteso all’8%.

Il punto più in alto a destra individua il portafoglio composto al 100% dal titolo b: la deviazione standard è pari al 6% e il rendimento atteso al 14%.

Lungo la linea blu troviamo tutti i portafogli composti dalle possibili combinazioni dei due titoli a e b (ad esempio, 10% del portafoglio composto dal titolo a e 90% da b, 20% del portafoglio composto dal titolo a e 80% da b, e così via).

In caso di perfetta correlazione positiva:

• La deviazione standard di un portafoglio è uguale alla media delle deviazioni standard dei titoli ponderate con i rispettivi pesi, esattamente come avviene per i rendimenti.
• Detenere due titoli invece che uno soltanto non riduce la deviazione standard del portafoglio: il rischio rimane il medesimo.

Caso reale

Nella realtà è molto difficile trovare due titoli con correlazione dei rendimenti esattamente uguale a +1, soprattutto non volendo scegliere due fondi che si differenzino soltanto per la classe di appartenenza: fondi uguali in tutto e per tutto ma con diverso livello commissionale.

Il nostro obiettivo è stato quello di trovare una coppia di fondi la cui correlazione tra i rendimenti si avvicinasse a +1 il più possibile, pur senza raggiungere questo valore.

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fonditalia Equity Italy R e Interfund Equity Italy Acc, due fondi a gestione attiva appartenenti alla stessa categoria (Azionari Italia).

Il periodo di analisi va dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici). La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo arco di tempo è risultata pari a +0,9892.

La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i due titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso reale)

La linea è leggermente curva, ma molto simile al grafico precedente.

Correlazione = −1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = −1 (caso teorico)

In questo caso si riesce a trovare una combinazione tra i due titoli in cui il rischio è zero.

La diversificazione produce il massimo effetto possibile: annullare il rischio del portafoglio ottenendo comunque un rendimento atteso che si colloca a un livello intermedio tra quello dei due titoli detenuti.

Nella realtà, tuttavia, è estremamente difficile (se non impossibile) individuare due strumenti finanziari che abbiano una correlazione tra i loro rendimenti pari a −1 (le correlazioni negative sono molto più rare di quelle positive).

Anche se non si riesce ad azzerare il rischio, una buona diversificazione sarà in grado di generare un rendimento per unità di rischio più alto di quello dei singoli strumenti finanziari che compongono un portafoglio.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fideuram Italia e UBI Pramerica - Obbligazioni Globali.

Il primo fondo è un azionario italiano mentre il secondo appartiene alla categoria dei fondi obbligazionari globali in euro. Il periodo di analisi è ancora quello che va dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici).

La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo arco di tempo è stata −0,6015.

La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i due titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = −1 (caso reale)

Anche se siamo distanti dal caso teorico, è importante rilevare che si può trovare una combinazione tra i due titoli in portafoglio che presenta un rischio più basso di quello di ciascuno dei titoli presi singolarmente e permette di ottenere un rendimento atteso superiore a quello del titolo col rendimento più basso.

Analizzando il grafico si può iniziare a distinguere il concetto di portafoglio efficiente: la parte rossa della curva individua proprio l'insieme dei portafogli efficienti: le combinazioni dei due titoli che possono essere definite ottimali.

La parte rossa della curva viene definita frontiera efficiente.

Un portafoglio efficiente è quello che non può essere migliorato sia a livello di rendimento atteso che di rischio: possono essere individuati portafogli con un rendimento atteso superiore ma che presentano anche un rischio più elevato. Alternativamente, si possono identificare portafogli con un rischio più basso ma dal rendimento atteso minore.

Un portafoglio efficiente è caratterizzato dal minimo rischio per ogni livello di rendimento atteso.

La scelta di un portafoglio efficiente rispetto a un altro dipenderà da fattori soggettivi quali la propensione individuale al rischio e l’aspettativa di rendimento.

Per ogni investitore, il portafoglio efficiente sarà quello che giace sulla frontiera efficiente e avrà un rischio atteso pari al proprio livello di tolleranza.

Correlazione = 0. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso teorico)

Anche in questo caso esistono combinazioni dei titoli che rendono il rischio di portafoglio più basso di quello dei singoli titoli presi individualmente. A differenza di prima, però, non si riesce ad azzerare il rischio del portafoglio.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: BG Selection SICAV - Anima Italy Equities AX e Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD.

Il primo fondo è un azionario italiano mentre il secondo è un azionario del Regno Unito espresso in dollari che investe prevalentemente in società a grande capitalizzazione. Il periodo di analisi va sempre dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici).

La correlazione tra i rendimenti dei due fondi nel periodo in esame è −0,0041, leggermente negativa ma molto prossima a zero.

La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio in funzione dei vari pesi tra i due titoli è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso reale)

La parte rossa della curva identifica la frontiera efficiente.

Possiamo riassumere il tutto con il seguente grafico, che illustra in una sola immagine le relazioni analizzate in modo separato precedentemente:

Rischio/rendimento (tutti i casi)

La regione compresa tra i punti C, S e il punto in cui i segmenti toccano l’asse y individua i portafogli ammissibili che possono essere creati combinando due titoli, in funzione della correlazione lineare tra i titoli stessi.

Soltanto alcuni di questi, in base ai criteri appena analizzati, potranno essere definiti efficienti.

Rischio e rendimento di un portafoglio rischioso con investimento in uno strumento privo di rischio

Un investimento senza rischio viene definito risk free. In realtà, nessun investimento è a rischio zero: ogni portafoglio e ogni strumento finanziario hanno sempre un certo rischio, anche se minimo.

Nel mondo reale, si parla di titoli privi di rischio con riferimento ai titoli di Stato, ai Buoni Fruttiferi Postali, ai conti correnti fino a 100.000 euro e così via.

Il rendimento atteso di un portafoglio rischioso p, in cui non si investe tutta la somma disponibile ma si riserva una parte di essa a uno strumento privo di rischio c, è il seguente:

r_pf = x_pr_p + (1 – x_p)r_c = r_c + x_p(r_p – r_c)

Dove:

r_pf = Rendimento del portafoglio che include anche il titolo privo di rischio
r_p = Rendimento del portafoglio rischioso
r_c = Rendimento dello strumento privo di rischio
x_p = Peso del portafoglio rischioso

Il rendimento del portafoglio rischioso, dove una parte del capitale viene investito in uno strumento privo di rischio, è esprimibile come una media ponderata tra il rendimento del portafoglio rischioso e lo strumento privo di rischio.

Riordinando i termini, possiamo interpretare il risultato ottenuto come il rendimento privo di rischio sommato al differenziale di rendimento tra il portafoglio rischioso e il risk free, moltiplicato per il peso del portafoglio rischioso.

Questa interpretazione è interessante: quel differenziale è denominato premio per il rischio o rendimento in eccesso e rappresenta l’extra rendimento che un investitore è disposto ad accettare per impiegare una parte del proprio capitale in un investimento rischioso.

Vediamo la formula della varianza del nuovo portafoglio:

σ_pf² = x_p²σ_p² + (1 – x_p)σ_c² + 2x_p(1 – x_p)σ_pc = x_p²σ_p²

Per calcolare la deviazione standard del nuovo portafoglio basterà estrarre la radice quadrata della varianza.

Lo strumento privo di rischio ha varianza () e covarianza col portafoglio rischioso () nulle. La varianza del nuovo portafoglio è quindi dipendente soltanto dalla parte investita nel portafoglio rischioso.

Graficamente:

Rischio/Rendimento con investimento privo di rischio

La parte rossa della curva è la frontiera efficiente.

Nello specifico, la retta individua tutte le possibili combinazioni rischio/rendimento di un portafoglio rischioso composto dai fondi BG Selection SICAV - Anima Italy Equities AX (60%) e Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD (40%) e un investimento privo di rischio (stesso periodo di analisi).

I pesi 60% e 40% dei due fondi non sono casuali: individuano il portafoglio efficiente col minor rischio.

La curva invece rappresenta le possibili combinazioni rischio/rendimento quando tutto il capitale è investito nel portafoglio rischioso.

Rischio e rendimento di un portafoglio di più di due strumenti finanziari rischiosi

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fonditalia Equity Italy R, Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD e UBI Pramerica - Obbligazioni Globali; tutti fondi già utilizzati in precedenza.

Il periodo di analisi è, anche stavolta, compreso tra il 30 maggio 2016 e il 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici).

Le correlazioni tra i rendimenti dei fondi nel periodo in esame sono le seguenti: 0,477 tra il Fonditalia e l’Investec, −0,3563 tra il Fonditalia e l’UBI, −0,3387 tra l’Investec e l’UBI.

La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i tre titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento (caso reale con 3 fondi)

Questa volta non otteniamo una semplice curva ma una vera e propria regione costituita da punti che, ancora una volta, identificano combinazioni rischio-rendimento.

La parte rossa, situata sul bordo superiore della regione in blu, identifica la frontiera efficiente.

Il grafico è costituito da 5.151 punti (combinazioni rischio-rendimento atteso), 675 dei quali si trovano sulla frontiera efficiente e individuano i portafogli col più alto rendimento atteso per ogni livello di rischio.

Nel grafico sono stati evidenziati anche i livelli di rischio-rendimento atteso generati da portafogli costituiti al 100% dai tre fondi presi singolarmente. È interessante notare come soltanto uno (Fonditalia) si trovi sulla frontiera efficiente, esattamente nel punto associato al maggior rendimento atteso e al maggior rischio.

Se questi tre titoli costituissero l’universo degli investimenti possibili in fondi, per un investitore con un'alta propensione al rischio l’investimento di tutto il proprio capitale nel titolo Fonditalia sarebbe una soluzione efficiente.

Non altrettanto si può dire degli altri due fondi: impiegare il 100% del capitale in uno di essi non costituisce una soluzione efficiente: esistono molte altre combinazioni di investimento nei tre fondi che, a parità di rischio, offrono dei rendimenti superiori.

Bisogna però fare attenzione a non classificare i fondi UBI e Investec come inefficienti e il Fonditalia come efficiente in senso assoluto: lo sono se si considera l’insieme di questi tre fondi come l’universo dei fondi disponibili ma, se la stessa analisi fosse effettuata prendendo in esame anche altri fondi, le conclusioni precedenti potrebbero non essere più valide.

Anche semplicemente scegliendo un diverso periodo di analisi si potrebbero ottenere risultati molto diversi.

In generale, aumentare il numero di titoli in portafoglio permette di migliorare la frontiera efficiente.

L’aumento delle opzioni di investimento corrisponde a un potenziale aumento della diversificazione che, come dicevamo in precedenza, può favorire la riduzione del rischio del portafoglio senza modificarne il rendimento atteso o, alternativamente, può favorire l’aumento del rendimento atteso senza modificare il rischio del portafoglio.

Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe

Avevamo visto in precedenza che il rendimento del portafoglio rischioso, dove una parte del capitale a disposizione dell'investitore viene dedicata a uno strumento privo di rischio, è esprimibile come una semplice media ponderata tra il rendimento del portafoglio rischioso e lo strumento privo di rischio.

Graficamente, ottenevamo una retta che individuava tutte le possibili combinazioni rischio/rendimento di un portafoglio rischioso composto da due fondi e da un investimento risk free.

Riproponiamo la stessa analisi con le seguenti differenze:

• Il portafoglio è composto da tre fondi.
• La retta non interseca la frontiera efficiente nel suo punto di minor volatilità ma sarà a essa tangente.

Anche stavolta si ipotizza che la retta intersechi l’asse Y nel livello di rendimento offerto da un investimento privo di rischio.

Il punto di tangenza con la frontiera efficiente identifica il portafoglio tangente.

La pendenza della retta che passa per il portafoglio tangente è l'indice di Sharpe:

L’indice di Sharpe misura il rapporto premio-volatilità fornito da un portafoglio: esso viene massimizzato se il portafoglio efficiente scelto è quello tangente.

Tutti gli altri portafogli rischiosi della frontiera efficiente (e, come è ovvio, anche i portafogli inefficienti) saranno posizionati al di sotto della retta tangente, il cui coefficiente angolare è proprio l’indice di Sharpe.

Il portafoglio tangente è quello che fornisce il più elevato rendimento per unità di volatilità rispetto a qualunque altro portafoglio disponibile.

Graficamente, avremo una situazione di questo tipo:

Portafoglio tangente

Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe sono due elementi fondamentali del CAPM (Capital Asset Pricing Model).

Da un insieme di portafogli efficienti e dalla scelta di quello più adatto per l’investitore in funzione della sua propensione al rischio, si passa all’individuazione del miglior portafoglio in senso assoluto.

Migliore non più in senso soggettivo, quindi, ma oggettivo: il portafoglio tangente diventa il solo portafoglio rischioso efficiente una volta incluso l’investimento privo di rischio.

I portafogli efficienti sono adesso quelli ottenibili da tutte le combinazioni tra l’investimento privo di rischio e il portafoglio tangente: quest'ultimo è l'unico portafoglio rischioso efficiente.

La propensione al rischio continuerà comunque ad avere un ruolo importante e aiuterà a individuare la percentuale di capitale da investire nel portafoglio tangente: gli investitori più aggressivi impiegheranno una parte più grande del loro portafoglio nell’investimento rischioso e si posizioneranno quindi in una zona della retta vicina al portafoglio tangente; quelli più prudenti si posizioneranno in una zona della retta vicina all’asse delle ordinate, ovvero al rendimento dell’investimento privo di rischio.

Un'interessante intervista in lingua inglese a Harry Markowitz è disponibile su Youtube: IFA.tv - An Hour with Harry Markowitz, Father of Modern Portfolio Theory.