Teoria Moderna del Portafoglio: la nascita dell' Asset Allocation

«A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies».

Harry Markowitz

L'Asset Allocation è un concetto che si sviluppa a partire dal lavoro di Harry Markowitz.

Nel suo articolo del 1952 intitolato "Portfolio Selection", Markowitz getta le basi della "Modern Portfolio Theory": la Teoria Moderna del Portafoglio.

Indice

• Introduzione
• Rischio e rendimento di un portafoglio di due strumenti finanziari rischiosi
• Rischio e rendimento di un portafoglio rischioso con investimento in uno strumento privo di rischio
• Rischio e rendimento di un portafoglio di più di due strumenti finanziari rischiosi
• Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe

Introduzione

Markowitz fu il primo studioso a formalizzare matematicamente la nozione di diversificazione degli investimenti, che da quel momento in poi divenne una vera e propria strategia di investimento.

Attraverso il processo di Asset Allocation e grazie ai benefici della diversificazione, è possibile ridurre il rischio di un portafoglio senza modificarne il rendimento atteso.

Markowitz definì il rischio come la varianza dei rendimenti. Scegliendo la giusta combinazione di strumenti finanziari e dei relativi pesi, si può identificare un portafoglio efficiente per ogni livello di rendimento atteso: quello con la varianza dei rendimenti più bassa.

L’aspetto più rivoluzionario del lavoro di Markowitz fu il passaggio dall'analisi dei singoli titoli a quella dell’insieme di strumenti finanziari detenuti dall'investitore. Ciò che conta non è tanto il rischio intrinseco di un singolo strumento, ma quanto tale strumento contribuirà alla varianza complessiva, cioè al rischio, dell’intero portafoglio.

In altre parole, la covarianza tra un singolo strumento e gli altri componenti del portafoglio svolge un ruolo cruciale nella valutazione complessiva del rischio dell'investimento.

Questa innovazione è di fondamentale importanza: la decisione di investire in un determinato titolo dipenderà non tanto da un confronto generico del suo rendimento e della sua varianza attesi con quelli di altri titoli, quanto da quali altri strumenti l’investitore vorrà includere nel proprio portafoglio.

In questo articolo, applicheremo il processo di ottimizzazione sviluppato da Markowitz sia ad esempi teorici che a casi pratici, utilizzando serie storiche dei rendimenti di strumenti finanziari reali.

Rischio e rendimento di un portafoglio di due strumenti finanziari rischiosi

Si suppone che l’investitore impieghi interamente la propria disponibilità finanziaria.

Il rendimento atteso di un portafoglio formato da due titoli a e b è pari alla media dei rendimenti dei due titoli ponderata con i rispettivi pesi:

r_p = x_ar_a + x_br_b

Dove:

r_p = Rendimento del portafoglio.
r_a = Rendimento del primo titolo.
r_b = Rendimento del secondo titolo.
x_a = Peso del primo titolo.
x_b = 1 – x_a = Peso del secondo titolo.

Più complesso risulta invece il calcolo della varianza del portafoglio, che utilizziamo come indicatore del rischio.

Essa è pari a:

σ_p² = x_a²σ_a² + x_b²σ_b² +2x_ax_bσ_ab

Dove:

σ_p² = Varianza dei rendimenti del portafoglio.
σ_a² = Varianza dei rendimenti del primo titolo.
σ_b² = Varianza dei rendimenti del secondo titolo.
σ_ab = Covarianza tra i rendimenti del primo e del secondo titolo.

Per calcolare la deviazione standard del portafoglio (σ_p), è sufficiente estrarre la radice quadrata della varianza.

Diversamente dal rendimento atteso, la deviazione standard del portafoglio, che misura il suo rischio, non è semplicemente una media delle deviazioni standard dei due titoli ponderate con i relativi pesi.

Entra in gioco la covarianza tra i titoli a e b, che può essere positiva, negativa o nulla, a seconda di come i rendimenti di a e b covariano tra loro.

È interessante esaminare i casi estremi classici in cui la correlazione lineare tra i due titoli che compongono il portafoglio è +1, −1 e 0.

D’ora in poi, quando parleremo di correlazione ci riferiremo sempre alla correlazione lineare.

Correlazione = +1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso teorico)

I punti lungo la linea blu rappresentano i livelli di rischio e rendimento atteso di un portafoglio composto da due titoli con una correlazione lineare pari a +1.

Il punto più in basso a sinistra sulla linea blu identifica un portafoglio composto al 100% dal titolo a: la deviazione standard è del 3% e il rendimento atteso è dell’8%.

Il punto più in alto a destra individua un portafoglio composto al 100% dal titolo b: la deviazione standard è del 6% e il rendimento atteso è del 14%.

Sulla linea blu sono posizionati tutti i portafogli che sono combinazioni possibili dei due titoli a e b (ad esempio, un portafoglio con il 10% investito nel titolo a e il 90% nel titolo b, un altro con il 20% investito nel titolo a e l'80% nel titolo b, e così via).

Quando c'è una correlazione positiva perfetta:

• La deviazione standard di un portafoglio è uguale alla media delle deviazioni standard dei titoli ponderate con i relativi pesi, proprio come avviene per i rendimenti.
• Detenere due titoli invece di uno non riduce la deviazione standard del portafoglio: il rischio rimane il medesimo.

Caso reale

Nella realtà, è estremamente raro trovare due titoli con una correlazione dei rendimenti esattamente pari a +1, soprattutto se si intende evitare l'uso di due fondi che siano praticamente identici tranne che per le commissioni applicate.

Il nostro obiettivo è stato quello di individuare una coppia di fondi la cui correlazione dei rendimenti si avvicinasse il più possibile a +1, pur senza raggiungere questo valore.

Il portafoglio è stato costruito utilizzando i seguenti fondi: "Fonditalia Equity Italy R" e "Interfund Equity Italy Acc", entrambi appartenenti alla categoria degli "Azionari Italia" e gestiti in modo attivo (sulle differenze tra i fondi a gestione attiva e passiva, si consiglia di leggere l'articolo È meglio investire in fondi a gestione attiva o passiva?).

L'analisi copre il periodo dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017, che comprende 256 giorni borsistici. La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo intervallo di tempo è risultata essere di +0,9892.

La rappresentazione grafica della relazione tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione delle diverse combinazioni di peso tra i due titoli nel portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso reale)

La linea è leggermente curva, ma molto simile a quella del grafico precedente.

Correlazione = −1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = −1 (caso teorico)

In questo caso, è possibile trovare una combinazione tra i due titoli in cui il rischio si annulla.

La diversificazione produce il massimo effetto possibile: l'eliminazione totale del rischio del portafoglio, pur mantenendo un rendimento atteso che si posiziona a un livello intermedio tra quelli dei due titoli detenuti.

Purtroppo, nella realtà è estremamente difficile (se non impossibile) individuare due strumenti finanziari con una correlazione tra i loro rendimenti pari a −1 (le correlazioni negative sono molto più rare di quelle positive).

Anche se non si può eliminare completamente il rischio, una buona diversificazione sarà in grado di generare un rendimento per unità di rischio superiore a quello dei singoli strumenti finanziari che compongono un portafoglio.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito utilizzando i seguenti fondi: "Fideuram Italia" e "UBI Pramerica – Obbligazioni Globali".

Il primo fondo rientra nella categoria degli azionari italiani, mentre il secondo appartiene alla categoria degli obbligazionari globali in euro. Il periodo di analisi rimane quello che va dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017, comprendente 256 giorni borsistici.

La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo intervallo di tempo è stata di −0,6015.

La rappresentazione grafica della relazione tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, considerando le varie combinazioni di peso tra i due titoli nel portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = −1 (caso reale)

Anche se ci distanziamo dal caso teorico, è fondamentale notare che è possibile individuare una combinazione dei due titoli in portafoglio che presenta un rischio inferiore rispetto a ciascun titolo preso separatamente. Nel contempo, essa permette di ottenere un rendimento atteso superiore a quello del titolo con il rendimento più basso.

Osservando il grafico, possiamo iniziare a distinguere il concetto di portafoglio efficiente: la parte rossa della curva rappresenta l'insieme dei portafogli efficienti, cioè le combinazioni dei due titoli che possono essere considerate ottimali.

La parte rossa della curva viene definita "frontiera efficiente".

Un portafoglio efficiente è quello che non può essere migliorato né in termini di rendimento atteso né di rischio: possono esistere portafogli con un rendimento atteso superiore, ma che presentano anche un rischio più elevato. In alternativa, si possono individuare portafogli con un rischio inferiore, ma con un rendimento atteso minore.

Un portafoglio efficiente è caratterizzato dal minimo rischio per ogni livello di rendimento atteso.

La scelta tra un portafoglio efficiente e un altro dipenderà da fattori soggettivi, come la propensione individuale al rischio e le aspettative di rendimento.

Per ciascun investitore, il portafoglio efficiente sarà quello situato sulla frontiera efficiente con un rischio atteso in linea al proprio livello di tolleranza.

Correlazione = 0. La rappresentazione grafica della relazione tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso teorico)

Anche in questo caso, esistono combinazioni di titoli che possono ridurre il rischio del portafoglio rispetto ai singoli titoli presi separatamente. A differenza del caso precedente, però, non è possibile azzerare il rischio del portafoglio.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito utilizzando i seguenti fondi: "BG Selection SICAV – Anima Italy Equities AX" e "Investec Global Strategy Fund – UK Alpha Fund F Acc USD".

Il primo fondo è un azionario italiano, mentre il secondo è un azionario del Regno Unito denominato in dollari, con un focus sulle società a grande capitalizzazione. Il periodo di analisi rimane quello compreso tra il 30 maggio 2016 e il 23 maggio 2017, con 256 giorni borsistici.

La correlazione tra i rendimenti dei due fondi nel periodo considerato è −0,0041, leggermente negativa ma molto vicina a zero.

La rappresentazione grafica della relazione tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, considerando le diverse combinazioni di peso tra i due titoli nel portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso reale)

La parte rossa della curva rappresenta la frontiera efficiente.

Possiamo sintetizzare tutto con il seguente grafico, che riepiloga in un'unica immagine le relazioni precedentemente analizzate separatamente:

Rischio/rendimento (tutti i casi)

La regione compresa tra i punti C, S e il punto in cui i segmenti toccano l’asse y individua i portafogli ammissibili che possono essere creati combinando due titoli, in funzione della correlazione lineare tra i titoli stessi.

Soltanto alcuni di questi, in base ai criteri appena esaminati, potranno essere considerati efficienti.

Rischio e rendimento di un portafoglio rischioso con investimento in uno strumento privo di rischio

Un investimento senza rischio è definito "risk free". In realtà, nessun investimento è completamente privo di rischio: ogni portafoglio e ogni strumento finanziario hanno sempre un certo grado di rischio, anche se minimo.

Nel mondo reale, si fa riferimento ai titoli di Stato, ai Buoni Fruttiferi Postali, ai conti correnti con un massimale garantito di 100.000 euro, e simili, come investimenti considerati privi di rischio.

Il rendimento atteso di un portafoglio rischioso r_pf, in cui non si investe l'intero capitale ma si dedica una parte a uno strumento privo di rischio c, è il seguente:

r_pf = x_pr_p + (1 – x_p)r_c = r_c + x_p(r_p – r_c)

Dove:

r_pf = Rendimento del portafoglio che include anche il titolo privo di rischio.
r_p = Rendimento del portafoglio rischioso.
r_c = Rendimento dello strumento privo di rischio.
x_p = Peso del portafoglio rischioso.

Il rendimento del portafoglio rischioso, in cui una parte del capitale è investita in uno strumento privo di rischio, non è altro che una media ponderata tra il rendimento del portafoglio rischioso e quello dello strumento privo di rischio.

Riorganizzando la formula, possiamo interpretare il risultato come il rendimento dello strumento privo di rischio sommato al differenziale di rendimento tra il portafoglio rischioso e il rischio zero (r_p − r_c), moltiplicato per il peso del portafoglio rischioso (x_p).

Questa interpretazione è interessante: il differenziale è chiamato premio per il rischio o rendimento in eccesso ed è l’extra rendimento che un investitore è disposto ad accettare per allocare una parte del proprio capitale in un investimento rischioso.

Vediamo la formula della varianza del portafoglio, considerando che lo strumento privo di rischio ha varianza (σ_c²) e covarianza col portafoglio rischioso (σ_pc) nulle:

σ_pf² = x_p²σ_p² + (1 – x_p)σ_c² + 2x_p(1 – x_p)σ_pc = x_p²σ_p²

Per calcolare la deviazione standard del portafoglio (σ_pf), basterà estrarre la radice quadrata della varianza.

La varianza del nuovo portafoglio è quindi dipendente soltanto dalla parte investita nel portafoglio rischioso.

Graficamente:

Rischio/Rendimento con investimento privo di rischio

La parte rossa della curva rappresenta la frontiera efficiente.

In particolare, la retta individua tutte le possibili combinazioni di rischio e rendimento di un portafoglio rischioso composto dai fondi "BG Selection SICAV – Anima Italy Equities AX" (60% della parte rischiosa) e "Investec Global Strategy Fund – UK Alpha Fund F Acc USD" (40% della parte rischiosa) e un investimento privo di rischio (stesso periodo di analisi).

I pesi 60% e 40% assegnai ai due fondi non sono casuali: individuano il portafoglio efficiente col minor rischio.

La curva, invece, rappresenta le possibili combinazioni di rischio e rendimento quando l'intero capitale è investito nel portafoglio rischioso.

Rischio e rendimento di un portafoglio di più di due strumenti finanziari rischiosi

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito utilizzando i seguenti fondi: "Fonditalia Equity Italy R", "Investec Global Strategy Fund – UK Alpha Fund F Acc USD" e "UBI Pramerica – Obbligazioni Globali"; tutti fondi già utilizzati in precedenza.

Il periodo di analisi rimane lo stesso: dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017, ovvero 256 giorni borsistici.

Le correlazioni tra i rendimenti dei fondi nel periodo in esame sono le seguenti: 0,477 tra Fonditalia e Investec, −0,3563 tra Fonditalia e UBI, −0,3387 tra Investec e UBI.

La rappresentazione grafica della relazione tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, considerando le diverse combinazioni di peso tra i tre titoli nel portafoglio, è la seguente:

Rischio/Rendimento (caso reale con 3 fondi)

Questa volta non otteniamo una semplice curva, ma un'area composta da punti che identificano combinazioni rischio-rendimento. La parte rossa, situata lungo il bordo superiore di questa regione blu, rappresenta la frontiera efficiente.

Il grafico è stato creato considerando 5.151 punti (combinazioni di rischio e rendimento atteso). Di questi, 675 si trovano sulla frontiera efficiente e individuano i portafogli con il massimo rendimento per ciascun livello di rischio.

Nel grafico sono anche evidenziati i livelli di rischio e rendimento atteso generati dai portafogli composti al 100% da ciascuno dei tre fondi individualmente. È interessante notare come soltanto uno (Fonditalia) si trovi sulla frontiera efficiente, esattamente nel punto associato al massimo rendimento e al maggior rischio.

Questo suggerisce che, se questi tre fondi costituissero l'intero universo delle opzioni di investimento disponibili in fondi, un investitore con una forte propensione al rischio avrebbe teoricamente scelto il portafoglio efficiente costituito dall'investire l'intero capitale nel fondo Fonditalia.

Non altrettanto si può dire degli altri due fondi (UBI e Investec): impiegare il 100% del capitale in uno di essi non rappresenterebbe una soluzione efficiente, in quanto esistono molte altre combinazioni di investimento nei tre fondi che, a parità di rischio, offrono rendimenti superiori.

Se la stessa analisi fosse effettuata prendendo in esame anche altri fondi o scegliendo un diverso periodo di analisi, le conclusioni precedenti non sarebbero più valide.

In generale, l'aumento del numero di titoli nel portafoglio può migliorare la frontiera efficiente. Aumentare le opzioni di investimento consente una maggiore diversificazione, il che può portare alla riduzione del rischio del portafoglio senza modificare il rendimento atteso o, alternativamente, all'aumento del rendimento atteso senza modificare il rischio del portafoglio.

Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe

Abbiamo precedentemente osservato come il rendimento del portafoglio rischioso, in cui una parte del capitale è destinata a uno strumento privo di rischio, può essere espresso come una media ponderata tra il rendimento del portafoglio rischioso e quello dello strumento senza rischio.

Graficamente, avevamo ottenuto una retta che rappresentava tutte le possibili combinazioni di rischio e rendimento per un portafoglio rischioso composto da due fondi insieme a un investimento privo di rischio.

Ora riprendiamo lo stesso concetto con alcune differenze:

• Il portafoglio è composto da tre fondi.
• La retta non interseca la frontiera efficiente nel punto di minima volatilità ma sarà tangente ad essa.

Anche stavolta, si ipotizza che la retta intersechi l’asse delle ordinate al livello di rendimento offerto da un investimento senza rischio.

Il punto di tangenza tra la retta e la frontiera efficiente identifica il portafoglio tangente.

La pendenza della retta che passa per il portafoglio tangente è l'indice di Sharpe:

Indice di Sharpe = Rendimento in eccesso del portafoglio / Volatilità del portafoglio

L’indice di Sharpe è una misura del rapporto tra il premio e la volatilità fornita da un portafoglio. Questo indice viene massimizzato quando il portafoglio efficiente scelto è il portafoglio tangente.

Tutti gli altri portafogli rischiosi lungo la frontiera efficiente (e, naturalmente, anche quelli inefficienti) si troveranno al di sotto della retta tangente, il cui coefficiente angolare rappresenta proprio l'indice di Sharpe.

Il portafoglio tangente è quindi quello che offre il rendimento più elevato per unità di volatilità rispetto a qualsiasi altro portafoglio disponibile.

Questo concetto può essere rappresentato graficamente come segue:

Portafoglio tangente

Il portafoglio tangente e l'indice di Sharpe sono due concetti chiave del Capital Asset Pricing Model (CAPM).

Dall'insieme dei portafogli efficienti e dalla scelta del portafoglio più adatto all'investitore in base alla sua propensione al rischio, si passa all'individuazione del miglior portafoglio in senso assoluto.

In questo contesto, "migliore" non è più una valutazione soggettiva, ma un concetto oggettivo. Il portafoglio tangente diventa l'unico portafoglio rischioso efficiente quando viene incluso l'investimento privo di rischio.

I portafogli efficienti sono ora quelli ottenibili da tutte le combinazioni tra l'investimento privo di rischio e il portafoglio tangente, dove quest'ultimo è l'unico portafoglio rischioso efficiente.

La propensione al rischio continua comunque a svolgere un ruolo importante e aiuta a determinare la percentuale di capitale da investire nel portafoglio tangente:

• Gli investitori più aggressivi allocano una parte maggiore del loro portafoglio nell'investimento rischioso e si posizionano quindi in una zona della retta vicina al portafoglio tangente: sarà proprio il punto in cui si trova il portafoglio tangente se decidono di investire tutto il loro capitale nel portafoglio rischioso.
• Gli investitori più prudenti si collocano in una zona della retta vicina all'asse delle ordinate, che rappresenta il rendimento dell'investimento privo di rischio: sarà proprio il punto che tocca l'asse delle ordinate se decidono di investire tutto il loro capitale in strumenti non rischiosi.

Un'interessante intervista in lingua inglese a Harry Markowitz è disponibile su Youtube: IFA.tv - An Hour with Harry Markowitz, Father of Modern Portfolio Theory.