Asset Allocation - Harry Markowitz

Asset Allocation, Markowitz e la Teoria Moderna del Portafoglio


03Mag2019

Information
Andrea Investimenti 462 hits
Prima pubblicazione: 09 Dicembre 2018

«A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies».

Harry Markowitz

L'Asset Allocation è un concetto che si sviluppa a partire dal lavoro di Harry Markowitz, che nel suo articolo del 1952 intitolato Portfolio Selection, getta le basi per quella che verrà definita la Teoria Moderna del Portafoglio (Modern Portfolio Theory). Markowitz è il primo studioso a formalizzare matematicamente la nozione di diversificazione degli investimenti, che da quel momento in poi diventerà una vera e propria strategia di investimento. Attraverso il processo di Asset Allocation e grazie ai benefici della diversificazione, infatti, è possibile ridurre il rischio di portafoglio senza modificarne il rendimento atteso. Il rischio viene definito da Markowitz come la varianza dei rendimenti del portafoglio e, scegliendo la giusta combinazione di strumenti finanziari e dei loro relativi pesi nella costruzione di un portafoglio, si può risalire al portafoglio efficiente per ogni livello di rendimento atteso: il portafoglio efficiente è quello con la varianza dei rendimenti più bassa.

L’aspetto più importante ed innovativo del lavoro di Markowitz è probabilmente quello di spostare l’ottica di osservazione dai singoli strumenti finanziari all’insieme degli strumenti che un investitore andrà a detenere. Non è importante il rischio del singolo strumento quanto il contributo che tale strumento apporterà alla varianza, ovvero al rischio dell’intero portafoglio. In altre parole, la covarianza del singolo strumento con quelli che compongono il resto del portafoglio gioca un ruolo fondamentale nel determinare il rischio complessivo del portafoglio. Non è un’innovazione marginale: la decisione di investire o meno in uno strumento finanziario dipenderà non tanto dal confronto del suo rendimento atteso e della sua varianza con quella di altri strumenti, quanto da quali altri strumenti l’investitore vorrà includere nel proprio portafoglio.

In questo articolo la Teoria Moderna del Portafoglio sarà applicata anche ad alcuni casi pratici, ovvero a serie storiche dei rendimenti di prodotti finanziari reali (nel nostro caso fondi).

Asset Allocation: rischio e rendimento di un portafoglio di due strumenti finanziari rischiosi

Il rendimento atteso di un portafoglio formato da due titoli a e b è pari alla media dei rendimenti dei due titoli ponderata con i rispettivi pesi:

Dove:

rp = rendimento del portafoglio
ra = rendimento del primo titolo
rb = rendimento del secondo titolo
xa = peso del primo titolo
xb = 1 - xa = peso del secondo titolo

Si ipotizza inoltre che l’investitore impieghi interamente la propria disponibilità finanziaria.

Un po’ più complesso è invece il calcolo della varianza del portafoglio, che utilizziamo come misura del rischio. Essa è uguale a:

Dove:

 = varianza dei rendimenti del portafoglio

 = varianza dei rendimenti del primo titolo

 = varianza i rendimenti del secondo titolo

 = covarianza tra i rendimenti del primo e del secondo titolo

Per calcolare la deviazione standard del portafoglio basterà estrarre la radice quadrata della varianza. A differenza del rendimento atteso la deviazione standard del portafoglio, che ne misura il rischio, non è una media delle deviazioni standard dei due titoli ponderata con i relativi pesi. Entra adesso in gioco la covarianza tra i titoli a e b, che può essere positiva, negativa o nulla, a seconda di come i rendimenti di a e b co-variano tra loro.
Vale la pena analizzare i classici casi estremi in cui la correlazione lineare tra i due titoli che compongono il portafoglio è pari a +1, -1 e 0 (d’ora in avanti quando parleremo di correlazione faremo sempre riferimento alla correlazione lineare).

Correlazione = +1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio rendimento con correlazione 1   Teorico

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso teorico)

I punti lungo la linea misurano il livello di rischio e di rendimento atteso di un portafoglio composto da due titoli con correlazione lineare pari a +1. Il punto più in basso a sinistra della linea blu individua il portafoglio composto al 100% dal titolo a, che presenta una deviazione standard pari al 3% e un rendimento atteso pari all’8%. Il punto più in alto a destra individua invece il portafoglio composto al 100% dal titolo b, che presenta una deviazione standard pari al 6% e un rendimento atteso pari al 14%. Lungo la linea blu troviamo invece tutti i portafogli composti da tutte le possibili combinazioni dei due titoli a e b (ad esempio 10% del portafoglio composto dal titolo a e 90% da b).

Nel caso di perfetta correlazione dei titoli componenti un portafoglio anche la deviazione standard di quest’ultimo è, al pari dei rendimenti, uguale alla media delle deviazioni standard dei titoli ponderate con i rispettivi pesi. Detenere due titoli invece che soltanto uno non riduce la deviazione standard del portafoglio: il rischio rimane il medesimo.

Caso reale

Una doverosa premessa: nella realtà è molto difficile trovare due titoli con correlazione dei rendimenti esattamente uguale a +1, soprattutto non volendo scegliere due fondi che si differenzino soltanto per la classe di appartenenza, ovvero fondi uguali in tutto e per tutto ma con diverso livello commissionale. L’obiettivo è stato quindi quello di trovare una coppia di fondi la cui correlazione tra i rendimenti si avvicinasse a +1 il più possibile, pur senza raggiungere questo valore. Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fonditalia Equity Italy R e Interfund Equity Italy Acc. Sono fondi appartenenti alla stessa categoria (Azionari Italia). Il periodo di analisi va dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici). La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo arco di tempo è risultata pari a +0,9892. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i due titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio rendimento con correlazione 1   Reale

Rischio/Rendimento con correlazione = 1 (caso reale)

La linea è leggermente curva ma molto simile al grafico relativo al caso teorico.

Correlazione = -1. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

Rischio rendimento con correlazione  1   Teorico

Rischio/Rendimento con correlazione = -1 (caso teorico)

In questo caso si riesce a trovare una combinazione tra i due titoli per cui il rischio è zero. La diversificazione produce il massimo effetto possibile: annullare il rischio del portafoglio ottenendo comunque un rendimento atteso che si colloca ad un livello intermedio tra quello dei due titoli detenuti. In questo esempio sono già evidenti i benefici apportati dall'applicazione di una corretta Asset Allocation, che sfrutta nel modo più ampio possibile i vantaggi di un'appropriata diversificazione. Nella realtà è tuttavia estremamente difficile (se non impossibile) individuare due prodotti finanziari che abbiano una correlazione tra i loro rendimenti esattamente pari a -1 (le correlazioni perfettamente negative sono molto più rare di quelle positive). Anche con livelli relativamente lontani da -1 si potranno comunque trovare delle combinazioni di titoli migliori (in termini di rischio/rendimento) rispetto agli stessi titoli presi singolarmente.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fideuram Italia e UBI Pramerica - Obbligazioni Globali. Il primo fondo è un azionario italiano mentre il secondo appartiene alla categoria dei fondi obbligazionari globali in euro. Il periodo di analisi è ancora quello che va dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici). La correlazione tra i rendimenti dei due fondi in questo arco di tempo è -0,6015. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i due titoli in portafoglio, è la seguente:

 Rischio rendimento con correlazione  1   Reale

Rischio/Rendimento con correlazione = -1 (caso reale)

Anche se siamo ben distanti dal caso teorico è importante rilevare che si può trovare una combinazione tra i due titoli in portafoglio che presenta un rischio più basso di quello di ciascuno dei titoli presi singolarmente. Tale combinazione permette inoltre il conseguimento di un rendimento atteso superiore a quello del titolo col rendimento più basso.

Analizzando questo grafico si può iniziare a distinguere il concetto di portafoglio efficiente: la parte rossa della curva sul grafico individua proprio questo tipo di portafogli, ovvero l’insieme di combinazioni dei due titoli che possono essere definite ottimali. Questo insieme viene definito come frontiera efficiente. Un portafoglio efficiente è quello che non può essere migliorato sia a livello di rendimento atteso che di rischio: possono essere individuati portafogli con un rendimento atteso superiore ma che presentano anche un rischio più elevato. Alternativamente, si possono identificare portafogli con un rischio più basso ma dal rendimento atteso minore. Un portafoglio efficiente è quindi quello caratterizzato da un grado minimo di rischio per ogni dato livello di rendimento atteso. La scelta di un portafoglio efficiente rispetto ad un altro dipenderà essenzialmente da fattori soggettivi quali la propensione individuale al rischio e l’aspettativa di rendimento. Il portafoglio efficiente per un determinato investitore sarà quindi quello che giace sulla frontiera efficiente e che corrisponde al suo specifico livello di tolleranza al rischio (volatilità).

Correlazione = 0. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard è la seguente:

 Rischio rendimento con correlazione 0   Teorico

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso teorico)

Anche in questo caso esistono combinazioni dei titoli in portafoglio che rendono il rischio di portafoglio più basso di quello dei singoli titoli presi individualmente. A differenza della fattispecie precedente, tuttavia, non si riesce ad azzerare il rischio del portafoglio.

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: BG Selection SICAV - Anima Italy Equities AX e Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD. Il primo fondo è un azionario italiano mentre il secondo fondo è un azionario del Regno Unito espresso in dollari che investe prevalentemente in società a grande capitalizzazione. Il periodo di analisi è sempre dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici). La correlazione tra i rendimenti dei due fondi nel periodo in esame è -0,0041, leggermente negativa ma molto prossima a zero. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i due titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio rendimento con correlazione 0   Reale

Rischio/Rendimento con correlazione = 0 (caso reale)

La parte rossa della curva identifica ancora una volta la frontiera efficiente.

Possiamo riassumere il tutto con il seguente grafico, che illustra in una sola immagine le relazioni analizzate in modo separato precedentemente:

Rischio rendimento   Tutti i casi

Rischio/rendimento (tutti i casi)

La regione compresa tra i punti C, S e il punto in cui i segmenti toccano l’asse y individua tutti i portafogli ammissibili che possono essere creati combinando due titoli, in funzione della correlazione lineare tra i titoli stessi. Soltanto alcuni di questi, in base ai criteri appena analizzati, potranno essere definiti efficienti.

Asset Allocation: rischio e rendimento di un portafoglio diversificato con investimento in uno strumento privo di rischio

In inglese, assenza di rischio si dice risk free. Parlare di assenza di rischio non sarebbe tuttavia corretto. Ogni strumento finanziario infatti comporta un certo rischio, anche se molto basso. Per semplicità, comunque, parleremo di titoli privi di rischio facendo riferimento a quegli strumenti finanziari che sono garantiti dallo Stato (in Italia troviamo ad esempio i Titoli di Stato a breve termine quali i BOT, i BTP, i Buoni Fruttiferi Postali, i conti correnti fino a 100.000 euro e così via).

Il rendimento atteso di un portafoglio diversificato p in cui non si investe tutta la somma disponibile ma si riserva una parte di essa ad uno strumento privo di rischio c è il seguente:

Dove:

rpf = rendimento del portafoglio che include anche il titolo privo di rischio
rp = rendimento dello strumento privo di rischio
rc = rendimento del portafoglio diversificato
xp = peso del primo titolo

Il rendimento del portafoglio diversificato dove non viene investita la somma totale ma una parte di essa viene lasciata in uno strumento privo di rischio è esprimibile come una semplice media ponderata tra il rendimento del portafoglio diversificato e lo strumento privo di rischio. Riordinando i termini possiamo interpretare il rendimento del nuovo portafoglio ottenuto come il rendimento privo di rischio sommato al differenziale di rendimento tra il portafoglio diversificato e il rendimento privo di rischio, ponderato con la parte di investimento che viene destinata al portafoglio diversificato. Questa interpretazione è interessante in quanto tale differenziale è generalmente denominato premio per il rischio del portafoglio o rendimento in eccesso e rappresenta l’extra rendimento che un investitore è disposto ad accettare per impiegare parte della propria disponibilità in un investimento rischioso.

Vediamo invece il rischio del nuovo portafoglio. Lo strumento privo di rischio ha varianza () e covarianza col portafoglio diversificato () nulle. La sua formula è la seguente:

Per calcolare la deviazione standard del nuovo portafoglio basterà estrarre la radice quadrata della varianza. La varianza del nuovo portafoglio è quindi dipendente soltanto dalla parte investita nel portafoglio diversificato. Graficamente:

Rischio rendimento con investimento privo di rischio

Rischio/Rendimento con investimento privo di rischio

La parte rossa rappresenta ancora una volta la frontiera ed i portafogli efficienti. Nello specifico, la retta individua tutte le possibili combinazioni rischio/rendimento di un portafoglio diversificato composto dai fondi BG Selection SICAV - Anima Italy Equities AX (60%) e Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD (40%) e un investimento privo di rischio (stesso periodo di analisi). La diversificazione 60%-40% non è casuale: è proprio quella che identifica il portafoglio efficiente col minor rischio. La curva invece rappresenta le possibili combinazioni rischio/rendimento tra i due suddetti fondi con investimento di tutta la somma disponibile.

Asset Allocation: rischio e rendimento di un portafoglio di più di due strumenti finanziari rischiosi

Caso reale

Il portafoglio è stato costruito con i seguenti fondi: Fonditalia Equity Italy R, Investec Global Strategy Fund - UK Alpha Fund F Acc USD e UBI Pramerica - Obbligazioni Globali, tutti fondi già utilizzati in precedenza. Il periodo di analisi è sempre dal 30 maggio 2016 al 23 maggio 2017 (256 giorni borsistici). Le correlazioni tra i rendimenti dei fondi nel periodo in esame sono le seguenti: 0,477 tra il Fonditalia e l’Investec, -0,3563 tra il Fonditalia e l’UBI, -0,3387 tra l’Investec e l’UBI. La relazione grafica tra il rendimento e la deviazione standard del portafoglio, in funzione dei vari pesi tra i tre titoli in portafoglio, è la seguente:

Rischio rendimento   Caso reale con 3 fondi

Rischio/Rendimento (caso reale con 3 fondi)

Questa volta non otteniamo una semplice curva ma una vera e propria regione costituita da punti che, ancora una volta, identificano combinazioni rischio-rendimento. La parte rossa, situata sul bordo superiore della regione in blu, identifica la frontiera efficiente. Il grafico è costituito da 5.151 punti (combinazioni rischio-rendimento atteso), 675 dei quali si trovano sulla frontiera efficiente ed individuano i portafogli col più alto rendimento atteso per ogni livello di rischio.

Nel grafico sono stati evidenziati anche i livelli di rischio-rendimento atteso generati da portafogli costituiti al 100% da questi tre fondi presi singolarmente. È interessante notare come soltanto uno (Fonditalia) si trovi sulla frontiera efficiente, esattamente nel punto della frontiera stessa associato al maggior rendimento atteso ed al maggior rischio. Se questi tre titoli costituissero l’universo degli investimenti possibili in fondi, per un investitore con un’accentuata propensione al rischio l’investimento di tutto il proprio capitale nel titolo Fonditalia sarebbe quindi una soluzione efficiente. Non altrettanto si può dire degli altri due fondi: impiegare il 100% del capitale in uno di essi non costituisce una soluzione efficiente. Esistono cioè delle combinazioni alternative di investimento nei tre fondi che, a parità di rischio, offrono dei rendimenti superiori. Bisogna però fare attenzione a non classificare i fondi UBI ed Investec come inefficienti ed il Fonditalia come efficiente in senso assoluto: lo sono se si considera l’insieme di questi tre fondi come l’universo dei fondi disponibili ma, se la stessa analisi fosse effettuata prendendo in esame anche altri fondi, la suddetta classificazione potrebbe non essere più valida. Inoltre, anche scegliendo un diverso periodo di analisi per gli stessi tre fondi si potrebbero ottenere risultati completamente diversi.

In generale aumentare il numero di titoli disponibili permette di migliorare la frontiera efficiente. L’aumento delle opzioni di investimento corrisponde infatti ad un potenziale aumento della diversificazione che, come dicevamo all’inizio dell'articolo, può favorire la riduzione del rischio di portafoglio senza modificarne il rendimento atteso o, alternativamente, può favorire l’aumento del rendimento atteso senza modificare il rischio di portafoglio.

Asset Allocation: il portafoglio tangente e l’indice di Sharpe

Avevamo visto in precedenza che il rendimento del portafoglio diversificato, dove non viene investita la somma totale ma una parte di essa viene dedicata ad uno strumento privo di rischio, è esprimibile come una semplice media ponderata tra il rendimento del portafoglio diversificato e lo strumento privo di rischio. Graficamente ottenevamo una retta che individuava tutte le possibili combinazioni rischio/rendimento di un portafoglio diversificato composto da due fondi e da un investimento non rischioso. Riproproniamo adesso la stessa analisi con le seguenti differenze:

  • Il portafoglio è composto da tre fondi
  • La retta non interseca la frontiera efficiente nel suo punto di minor volatilità ma sarà ad essa tangente

Anche stavolta si ipotizza che la retta intersechi l’asse Y nel livello di rendimento offerto da un investimento privo di rischio. Il punto di tangenza con la frontiera efficiente identifica invece quello che viene definito portafoglio tangente. La pendenza della retta che passa per questo portafoglio è individuata dall’indice di Sharpe:

L’indice di Sharpe misura il rapporto premio-volatilità fornito da un portafoglio. In particolare, questo rapporto viene massimizzato se il portafoglio prescelto è quello tangente. Infatti, tutti gli altri portafogli di attività rischiose della frontiera efficiente (e, come è ovvio, anche i portafogli inefficienti) saranno posizionati al di sotto della retta tangente, il cui coefficiente angolare è proprio l’indice di Sharpe. Il portafoglio tangente è quello che fornisce il più elevato rendimento per unità di volatilità rispetto a qualunque altro portafoglio disponibile.

Graficamente avremo una situazione di questo tipo:

Portafoglio tangente

Portafoglio tangente

L'impostazione logica del portafoglio tangente e dell'indice di Sharpe sono alla base del CAPM (Capital Asset Pricing Model). Dalla presenza di tanti portafogli efficienti (tutti quelli della frontiera efficiente) e dalla scelta di quello più consono per l’investitore in base alla sua propensione al rischio, si passa all’individuazione del miglior portafoglio in senso assoluto. Migliore non più in senso soggettivo, quindi, ma oggettivo: il portafoglio tangente diventa il solo efficiente una volta incluso l’investimento privo di rischio. Tutti i portafogli efficienti sono adesso quelli ottenibili da combinazioni tra l’investimento privo di rischio e il portafoglio tangente. Nessun altro portafoglio composto da sole attività rischiose sarà efficiente. Ogni investitore, indipendentemente dalla propria propensione al rischio, dovrà perciò investire nel portafoglio tangente. La propensione al rischio continuerà comunque ad avere un ruolo importante ed aiuterà ad individuare la percentuale di capitale da investire nel portafoglio tangente: gli investitori più aggressivi impiegheranno una parte più grande del loro portafoglio nell’investimento rischioso e si posizioneranno quindi in una zona della retta vicina al portafoglio tangente; quelli più prudenti agiranno invece in maniera opposta e si posizioneranno in una zona della retta vicina all’asse delle ordinate, ovvero al rendimento dell’investimento privo di rischio.

Un'interessante intervista in lingua inglese ad Harry Markowitz è disponibile su Youtube: IFA.tv - An Hour with Harry Markowitz, Father of Modern Portfolio Theory.

Vai al CAPM (Capital Asset Pricing Model)

Scegli che tipo di utilizzatore vuoi essere

FREE

Gratis senza
registrazione
Portafogli Modello:
nessuno
Portafogli Personali:
nessuno
Backtest Strategie
limitate
Segnali giornalieri
non disponibili
Download
non disponibile
CAPTCHA
presente

BASIC

Gratis con
registrazione
Portafogli Modello:
nessuno
Portafogli Personali:
1
Backtest Strategie
limitate
Segnali giornalieri
non disponibili
Download
disponibile
CAPTCHA
presente

PRO
Mensile

49 € IVA compresa

Portafogli Modello:
52
Portafogli Personali:
illimitati
Backtest Strategie
illimitate
Segnali giornalieri
disponibili
Download
disponibile
CAPTCHA
assente

PRO
Annuale

490 € IVA compresa

Portafogli Modello:
52
Portafogli Personali:
illimitati
Backtest Strategie
illimitate
Segnali giornalieri
disponibili
Download
disponibile
CAPTCHA
assente

Disclaimer

Tutti i tipi di investimento sono rischiosi. Il livello di rischio può essere più o meno alto e i rendimenti possono variare al rialzo o al ribasso. Ogni investimento è soggetto al rischio di perdita.
I rendimenti passati non sono indicativi di quelli futuri.