CAPM - William Sharpe

CAPM (Capital Asset Pricing Model)


16Mag2019

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Andrea Investimenti 576 hits
Prima pubblicazione: 11 Dicembre 2018

«Some investments do have higher expected returns than others. Which ones? Well, by and large they're the ones that will do the worst in bad times».

William F. Sharpe

La maggiore difficoltà della Teoria Moderna del Portafoglio consiste nel dover conoscere i rendimenti, le volatilità e le correlazioni attese dei prodotti finanziari su cui si investe per poter determinare il portafoglio efficiente. Il CAPM permette di evitare le stime di queste quantità ed identifica il portafoglio efficiente con quello di mercato, ovvero quel portafoglio che include tutti i titoli presenti sul mercato finanziario.

Il CAPM è un modello introdotto da William Sharpe nel 1964. In maniera indipendente anche altri economisti svilupparono questa idea: Jack Treynor, John Lintner e Jan Mossin. Per questo importante contributo William Sharpe ha ricevuto nel 1990 il premio Nobel per l’economia insieme ad Harry Markowitz e Merton Miller «per il loro contributo pionieristico alla teoria dell’economia finanziaria».

È necessario premettere che il CAPM si basa su alcuni assiomi assolutamente insostenibili nella realtà. Tuttavia, esso rimane un modello estremamente utile a livello teorico. I postulati del CAPM sono i seguenti:

  • Non esistono costi di transazione. Non viene cioè sostenuto alcun costo quando si comprano o si vendono titoli
  • Ogni titolo è infinitamente divisibile e può essere frazionato a piacimento
  • Non si pagano imposte
  • Gli investitori non possono influenzare il prezzo di un titolo in modo individuale attraverso le proprie vendite o i propri acquisti. È l’insieme delle azioni dei singoli che fa aumentare o diminuire il prezzo dei titoli
  • Gli investitori agiscono soltanto in base ai rendimenti attesi, alla volatilità ed alle correlazioni tra i titoli dei loro portafogli. Inoltre, le loro aspettative in questi termini ed il relativo periodo di calcolo sono omogenei. Di conseguenza, tutti gli investitori detengono soltanto portafogli efficienti, anche perché le informazioni sono pubblicamente disponibili a tutti loro nello stesso momento
  • Le posizioni corte (vendite allo scoperto) sono illimitatamente ammesse
  • Gli investitori possono prendere o dare in prestito denaro in quantità illimitata ed al tasso di interesse privo di rischio
  • Ogni bene è negoziabile; può essere quindi acquistato e venduto sul mercato

Accettare i precedenti postulati significa ammettere che ogni investitore inviduerà lo stesso portafoglio efficiente. Nello specifico, è quel portafoglio che nell'articolo sull'Asset Allocation e la Teoria Moderna del Portafoglio abbiamo individuato come portafoglio tangente. Ora, abbandonando l’esempio di un portafoglio di soli tre titoli e allargando il nostro orizzonte alla miriade di titoli rischiosi presenti realmente sul mercato, la domanda che sorge spontaneamente è la seguente: come facciamo ad individuare la composizione del portafoglio tangente nel mondo reale? La risposta è relativamente semplice, proprio in virtù degli assiomi precedenti: se tutti gli investitori hanno aspettative omogenee ed hanno accesso alle stesse informazioni, i loro portafogli rischiosi saranno tutti uguali e la loro composizione rispecchierà quella del portafoglio tangente. Ora, dato che sommando tutti i portafogli degli investitori si ottiene il portafoglio di mercato (tutti i titoli esistenti sul mercato devono essere posseduti da qualcuno), la conclusione logica è che il portafoglio di mercato nella sua composizione percentuale di titoli rischiosi sarà esattamente uguale a ciascun portafoglio individuale ed al portafoglio tangente. Il portafoglio di mercato di titoli rischiosi sarà quindi l’unico portafoglio efficiente ed equivarrà a tutti i portafogli individuali. In termini grafici:

Capital Market Line

Capital Market Line con possibilità di prestare e di prendere in prestito denaro da investire nel portafoglio di mercato

La linea visualizzata nel grafico è detta Capital Market Line (CML, Linea del Mercato dei Capitali in italiano). Essa si origina dall’asse Y nel punto  (all’altezza del tasso di rendimento di un investimento senza rischio) e passa dal portafoglio tangente o di mercato (punto ). Ipotizzando che un investitore allochi una percentuale x dei propri impieghi nel portafoglio di mercato ed una percentuale (1-x) in un titolo privo di rischio, egli si troverà in un punto della Capital market Line compreso tra  e , in funzione di x. Possiamo calcolare il rendimento atteso e la volatilità di questo specifico portafoglio nel modo seguente:

Al diminuire di x avremo che  tenderà a  mentre  tenderà a 0. All’aumentare di x, invece,  tenderà a  mentre  tenderà a . Da notare che x può anche essere superiore a 1 (questa fattispecie si verifica quando l’investitore si indebita per aumentare l’investimento nel portafoglio di mercato).

Beta

Dato un portafoglio di mercato efficiente, il rendimento atteso di un investimento i è:

Dove beta è definito come:

Il beta di un investimento i è quindi pari al rapporto tra la covarianza tra il rendimento di i e quello del portafoglio di mercato e la varianza del portafoglio di mercato. Ovviamente il beta del portafoglio di mercato è uguale a 1 dato che la covarianza del portafoglio di mercato con se stesso equivale alla varianza del portafoglio di mercato; il beta dell’investimento privo di rischio sarà invece pari a 0 dato che, essendo la varianza di questo pari a 0, anche la sua covarianza con il portafoglio di mercato sarà nulla.

L’equazione precedente, che possiamo riscrivere semplificandola leggermente come

rappresenta una delle più importanti scoperte nel settore della finanza. Questa equazione individua i rendimenti attesi di tutti i possibili portafogli esistenti. La relazione tra i rendimenti attesi di due portafogli qualsiasi è dunque legata unicamente alla differenza tra i rispettivi beta dato che  e  non dipendono da questi portafogli. Questa relazione è di tipo lineare e tanto maggiore è il beta, tanto più grande sarà il rendimento atteso.

Bisogna fare attenzione a non credere che, invariabilmente, titoli con beta più alti abbiano sempre e comunque rendimenti più alti di titoli con beta più bassi. Questo dovrebbe essere vero nel lungo termine ma non lo sarà mai per ogni periodo di tempo: in realtà, se aziende con beta più alti, e quindi con un livello di rischio superiore, producessero costantemente rendimenti più alti di aziende con beta inferiori, le prime diventerebbero meno rischiose delle seconde. Il CAPM d’altronde è un modello di equilibrio e presenterà necessariamente oscillazioni nel breve termine che tenderanno a riportare i valori delle variabili che contraddistinguono il modello in equilibrio nel lungo termine.

Rischio sistematico, rischio specifico di impresa e beta

Un titolo, un’azione ad esempio, viene definito rischioso perché, nel momento in cui se ne entra in possesso, non è possibile conoscere con certezza il valore dei dividendi futuri o il prezzo futuro dell’azione stessa. Questi valori si possono stimare (e si parla quindi di valori attesi) ma difficilmente i valori effettivi coincideranno con quelli attesi. L’investitore si accollerà perciò il rischio che i valori effettivi siano inferiori a quelli attesi. 

Il rischio può essere classificato in due tipologie:

  • Rischio specifico dell’impresa, legato all’andamento della gestione aziendale di un’impresa (ciclo economico e finanziario della stessa, solidità patrimoniale e così via)
  • Rischio generico del mercato, legato all’andamento dell’intera economia nel suo complesso (cicli economici di breve e lungo termine)

Il primo tipo di rischio è un rischio caratteristico dell’impresa. Viene definito specifico proprio perché è unico e non può essere generalizzato; è legato a specifici avvenimenti aziendali che faranno oscillare in alto e in basso il prezzo delle azioni di quell’impresa. Il secondo tipo di rischio, invece, coinvolge tutte le imprese nel suo complesso: proprio per questo motivo viene definito rischio sistematico o di mercato. Basti pensare a un evento quale l’aumento dei tassi di interesse annunciato dalla BCE: per tutte le imprese presenti nel sistema economico (dell’eurozona) finanziarsi diventerà più costoso e tutte queste imprese avranno una ripercussione sui propri bilanci dovuta all’aumento del costo del capitale.

Quando molti titoli sono inclusi in un portafoglio di grandi dimensioni il rischio specifico di impresa tenderà a compensarsi: qualche impresa sottoperformerà e qualche altra sovraperformerà il rendimento atteso dovuto ad eventi caratteristici di quelle imprese. In un grande portafoglio il rischio specifico viene diversificato e tenderà quindi ad annullarsi. Il rischio sistematico, invece, sarà ancora presente, perché l’andamento dell’economia si ripercuoterà su tutte le imprese del mercato e quindi sicuramente anche su quelle incluse nel portafoglio. Ecco perché, nella Teoria moderna del portafoglio, siamo giunti alla conclusione che solitamente un portafoglio costituito da più titoli è meno volatile di un singolo titolo a parità di rendimento atteso: il titolo singolo, l’azienda singola, incorpora sia il rischio specifico che quello sistematico; un portafoglio ben diversificato soltanto il rischio sistematico. Da un punto di vista grafico possiamo rappresentare la relazione che esiste tra questi due tipi di rischio e il numero di titoli presenti in portafoglio nel modo seguente:

Rischio specifico e sistematico

Rischio specifico e rischi sistematico

Un’importante conclusione del CAPM è quella per cui, data la natura di queste due tipologie di rischio, il premio per il rischio di un titolo sarà determinato soltanto dal suo rischio sistematico e non dipenderà dal suo rischio specifico. Quest’ultimo infatti può essere eliminato in modo “gratuito” diversificando: perché un investitore dovrebbe richiedere quindi un premio aggiuntivo? Questa conclusione è estremamente importante: implica infatti che, mentre la volatilità di un portafoglio ben diversificato può essere considerata una buona misura del suo premio di rischio, la volatilità di un singolo titolo non lo è affatto, perché tende a quantificare anche il rischio specifico, che come abbiamo appena visto non viene premiato. Occorrerà allora trovare un’altra misura del rischio da utilizzare indirettamente per quantificare anche il premio di rischio; dovrà essere una misura ad hoc del solo rischio sistematico. L’abbiamo già incontrata: il beta. Il beta di un titolo, essendo quel valore che quantifica la sensibilità del titolo stesso rispetto al portafoglio di mercato, è lo strumento più adatto per raggiungere questo scopo. Il portafoglio di mercato, infatti, è quel portafoglio che contiene soltanto rischio sistematico e il beta sarà minore di 1 per titoli che comportano un rischio sistematico minore di quello del portafoglio di mercato e maggiore di 1 per quelli con rischio sistematico più elevato. Ecco quindi perché avevamo affermato che il rendimento atteso di un portafoglio era legato linearmente al beta: se un beta alto (ipotizziamo superiore a 1) indica un rischio sistematico alto (superiore al portafoglio di mercato) allora l’investitore sarà disposto a detenere quel portafoglio solo se il suo rendimento atteso sarà alto (superiore a quello del portafoglio di mercato), e viceversa. Questa relazione lineare può essere identificata con una retta che passerà senz’altro attraverso il rendimento atteso dell’investimento privo di rischio (corrispondente a un beta uguale a 0) e quello del portafoglio di mercato (beta uguale a 1): la Security Market Line (SML). Vediamola graficamente:

Security Market Line

Security Market Line

Tutti i titoli e tutti i portafogli di titoli giacciono sulla Security Market Line. Non potrebbe essere altrimenti dato che il rischio sistematico è misurato da beta e i rendimenti attesi sono il premio del solo rischio sistematico, e quindi linearmente dipendenti da beta. Questo risultato è ben diverso da ciò che si otteneva con la Capital Market Line dato che in quel grafico i singoli titoli potevano collocarsi sotto alla Capital Market Line. Possiamo adesso capire da cosa derivasse la loro distanza sul piano orizzontale dalla Capital Market Line: proprio dal rischio specifico.

Nella realtà è impossibile acquistare il portafoglio di mercato: esso dovrebbe comprendere non soltanto tutte le azioni presenti sul mercato mondiale ma anche tutte le obbligazioni, proprietà immobiliari, metalli preziosi, opere d’arte e tutti gli altri beni di investimento disponibili. Non esiste un prodotto finanziario che replichi tutto ciò ed è praticamente impossibile detenere tutti questi beni o titoli: per questo motivo quando si fa riferimento al portafoglio di mercato si utilizza di solito una sua approssimazione rappresentata dall’indice S&P 500, un indice che comprende un paniere azionario composto dalle 500 azioni statunitensi a maggiore capitalizzazione.

Un’ultima considerazione: il beta di un portafoglio si calcola facendo la media ponderata dei titoli che lo compongono.

Alfa

Il CAPM è un modello di equilibrio e nella realtà ci saranno occasioni in cui determinati accadimenti aziendali modificheranno il rendimento atteso di uno o più titoli. Naturalmente, sulla base dei postulati del CAPM, il momentaneo disequilibrio tenderà a scomparire nel momento in cui le notizie su quegli accadimenti aziendali diventeranno di dominio pubblico. Fino ad allora, però, il portafoglio di mercato, efficiente per definizione, non lo sarà più e verrà a trovarsi momentaneamente al di sotto della frontiera efficiente. Nel contempo le aziende che hanno visto modificarsi verso l’alto o verso il basso i propri rendimenti attesi non si troveranno più sulla Security Market Line ma in una posizione spostata verso l’alto o verso il basso rispetto a questa. La differenza tra il nuovo rendimento atteso e il rendimento atteso richiesto in base alla Security Market Line è chiamato alfa e si calcola nel modo seguente:

Questa differenza è pari a zero quando il portafoglio di mercato è efficiente e tutti i titoli si trovano sulla Security Market Line ma, quando ciò non avviene, ci saranno aziende con un valore di alfa positivo o negativo. Gli investitori più rapidi potranno allora comprare o vendere questi titoli e il loro portafoglio tornerà ad essere efficiente. A brevissima distanza anche tutti gli altri investitori si comporteranno nello stesso modo: il portafoglio di mercato tornerà quindi ad essere efficiente e quei titoli a posizionarsi sulla Security Market Line, annullando nuovamente i rispettivi alfa.

Nei Fondi Comuni di Investimento e nelle Sicav, alfa è spesso usato per misurarne la bontà della gesione: in particolare come essi hanno performato in relazione al proprio benchmark.

Il CAPM, pur con i suoi evidenti limiti, resta un modello molto studiato ed utilizzato nella pratica per determinare il costo del capitale.

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