Misure di rischio

Misure di rischio


09Ago2019

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Andrea Investimenti finanziari 423 hits
Prima pubblicazione: 09 Maggio 2019

«If you want me to play only the notes without any specific dynamics, I will never make one mistake».

Vladimir Horowitz

Il rischio può essere definito come l’incertezza del rendimento di un investimento. Se fosse possibile conoscere in anticipo l’esito di un investimento non saremmo in presenza di alcun rischio.

Anche se nella realtà l’assenza totale di rischio non esiste, si possono comunque trovare investimenti considerati a rischio zero (risk-free). Non ci si deve stupire, però, che anche il loro rendimento sia allineato al rischio: zero o prossimo allo zero.

Uno degli assiomi che stanno alla base della finanza è quello di avversione al rischio, che si può sintetizzare nel modo seguente:

  • A parità di rendimento un investitore sceglierà sempre il portafoglio meno rischioso
  • Un investitore sarà disposto ad assumersi un rischio maggiore soltanto in cambio di un rendimento atteso maggiore

L’avversione al rischio è una caratteristica intrinseca degli esseri umani: in ogni situazione umana l’incertezza è tendenzialmente una fonte di preoccupazione e, nell’impossibilità di eliminarla, si prova a contenerla.

La difficoltà, nel mondo finanziario, nasce dal fatto che rischio e rendimento vanno di pari passo: quando diminuisco il rischio anche il rendimento atteso scende. Questa regola, salvo inefficienze temporanee, è sempre valida per singoli prodotti finanziari.

Nella costruzione di un portafoglio, tuttavia, esistono alcuni casi in cui assets con certe caratteristiche possono determinare l’aumento del rendimento atteso a parità, se non addirittura in concomitanza, di una diminuzione del rischio. Dobbiamo questa intuizione ad Harry Markowitz, che la formulò nel 1952 dando origine alla Moderna Teoria del Portafoglio.

L’avversione al rischio non deve essere confusa con la propensione al rischio. Quest’ultima è puramente soggettiva e la possiamo definire come la capacità dell’investitore di tollerare investimenti che, a causa della loro rischiosità, si trovino in territorio negativo. Potete trovare ulteriori informazioni sulla propensione al rischio alla pagina seguente: La propensione al rischio.

Parlare del rischio in modo puramente descrittivo è utile ed istruttivo ma non è sufficiente. Il rischio deve essere quantificato. Più precisamente, il rischio del portafoglio di un investitore deve essere misurato.

Varianza e deviazione standard

La variabilità dei rendimenti rispetto alla media, quantificata dalla varianza e dalla deviazione standard, è la più utilizzata misura di rischio:

Dove:

= rendimento del periodo i = rendimento medio

n = numero di osservazioni (ipotizziamo osservazioni giornaliere)

Si tende a preferire la deviazione standard perché di più facile lettura: ha la stessa unità di misura dei valori osservati.

Una deviazione standard elevata implica molta incertezza e un’alta variabilità dei rendimenti: in altre parole, un alto rischio.

La deviazione standard può essere annualizzata moltiplicando il valore ottenuto dalla precedente formula per , dove t = numero di osservazioni in un anno (4 nel caso di rendimenti trimestrali, 12 nel caso di rendimenti mensili, 252 per i giornalieri e così via).

Il presupposto per la validità di queste conversioni è che i rendimenti siano i.i.d. (indipendenti ed identicamente distribuiti). Tale presupposto è abbastanza forte ed implica che la varianza sia costante. Tuttavia, nella realtà essa non lo è ed alcuni modelli statistici di stima, quali ad esempio i modelli GARCH, non si basano su questo assunto.

La deviazione standard annualizzata dei rendimenti di un investimento viene definità volatilità.

Semi-varianza e semi-deviazione standard

Dato che un’alta variabilità dei rendimenti sopra alla media è un evento auspicabile per l’investitore, una misura di rischio che alcune volte viene presa in considerazione è la semi-varianza (la semi-deviazione standard non è altro che la sua radice quadrata). Essa si calcola utilizzando soltanto i rendimenti al di sotto del rendimento medio.

La formula di calcolo è uguale a quella della varianza e della deviazione standard soltanto che, nel caso in esame, i vari sono soltanto quelli inferiori a ed n ne misura la numerosità.

Questa misura di rischio ha indubbiamente una sua logica anche se, nella pratica, non è molto utilizzata. Il motivo principale è che, in caso di una distribuzione simmetrica dei rendimenti, i risultati che si ottengono sono uguali a quelli conseguiti impiegando la varianza o la deviazione standard, proprio in ragione del fatto che la semi-varianza è proporzionale alla varianza.

In un portafoglio ben diversificato l’assunzione di simmetria dei rendimenti è plausibile e quindi il calcolo della semi-varianza o della semi-deviazione standard come ulteriore misura di rischio non permette di ottenere alcuna informazione aggiuntiva.

Indice di Sharpe

L’indice di Sharpe (in inglese In inglese Sharpe ratio), più che una misura pura di rischio, è un coefficiente teso a quantificare la performance corretta per il rischio di un portafoglio. La sua formula è la seguente:

Dove:

= rendimento del portafoglio = tasso di rendimento a rischio zero

= Volatilità del portafoglio

Un portafoglio con un indice di Sharpe alto è invitante per l’investitore, in quanto esprime un buon rapporto rischio/rendimento. L’indice di Sharpe viene infatti anche definito come il rendimento ottenuto per ogni unità di rischio.

Tuttavia, non è consigliabile basarsi esclusivamente sull’indice di Sharpe nella scelta di un portafoglio, in quanto il solo indice di Sharpe non permette di capirne la vera rischiosità: un valore alto dell’indice potrebbe essere originato sia dalla combinazione di valori elevati di rendimento e volatilità che da una combinazione di valori bassi.

Nel caso di rendimenti negativi si genera un fenomeno interessante e controintuitivo: scegliere il portafoglio con l’indice di Sharpe più elevato significherebbe andare in direzione opposta a quella suggerita dal principio di razionalità dell’investitore.

Ipotizziamo di dover scegliere tra il portafoglio A, che offre un extra-rendimento rispetto al tasso a rischio zero del -5% ed una deviazione standard del 10% ed il portafoglio B, con extra-rendimento del -10% ed una deviazione standard del 30%. L’indice di Sharpe del primo portafoglio è -0,50 e quello del secondo -0,33. Dovremmo perciò scegliere il portafoglio B in quanto il suo indice di Sharpe è maggiore. Eppure, questa scelta sembra irrazionale: come faccio a preferire il portafoglio che ha performato peggio sia in termini di rendimento (più basso) che di volatilità (più alta)?

In casi di questo tipo alcuni ritengono che la scelta del portafoglio B sia comunque coerente: l’obiettivo dell’investitore è quello di ottenere il più alto rendimento possibile e il portafoglio più volatile è quello che offre le chances maggiori di tornare al più presto in territorio positivo.

Altri sostengono invece che questa interpretazione sia una forzatura ed in caso di rendimenti negativi la regola di selezione andrebbe cambiata: il miglior portafoglio sarebbe quello con l’indice di Sharpe più alto in valore assoluto (nel nostro esempio il portafoglio A).

Il dibattito, tuttavia, è puramente teorico e può avere senso solo se sono interessato a sapere quale portafoglio ha performato meglio in termini di indice di Sharpe nel passato. Se il mio intento, invece, è quello di scegliere un portafoglio su cui investire in ottica futura allora l’extra-rendimento e la volatilità non si conoscono e dovranno essere stimati: nel caso in cui la mia stima mi prefiguri un extra-rendimento negativo non avrò dubbi su quale portafoglio scegliere: quello a rischio zero (ovvero quello che mi garantisce di ottenere il tasso di rendimento privo di rischio pari a ).

La scelta razionale, infatti, sarà proprio quella di non investire in alcuna attività rischiosa (cioè con volatilità maggiore di zero), in quanto l’investimento a rischio zero non solo mi offre un rendimento atteso superiore (dato che l’extra-rendimento, ovvero , è negativo) ma mi assicura anche di ottenerlo con una volatilità nulla.

Value at Risk (VaR)

Il Value at Risk (Valore a rischio in italiano) può essere definito come l’ammontare della perdita che siamo abbastanza sicuri che non sarà oltrepassata dal nostro portafoglio in un certo periodo di tempo.

Il VaR è caratterizzato da due parametri:

  • il livello di confidenza α
  • l’orizzonte temporale di rischio in base al quale il VaR viene calcolato

Questi due parametri possono essere scelti in modo arbitrario oppure imposti da un organo regolatore, come nel caso dell’accordo internazionale conosciuto come Basilea II. In particolare, in mancanza di obblighi esterni, l’orizzonte temporale su cui calcolare il VaR dovrebbe corrisponde al periodo di tempo in cui un investitore si aspetta di detenere un certo portafoglio.

Ipotizziamo di avere un portafoglio del valore di 100.000 euro con un ritorno atteso ad un mese dello 0,1% ed una deviazione standard pari a 0,25%. Assumiamo inoltre che i rendimenti seguano una distribuzione normale, in modo da sapere che il 5% dei rendimenti più bassi che saranno realizzati dal portafoglio giacciono ad una distanza di 1,645 deviazioni standard dal rendimento medio.

Posso quindi dedurre che nel 5% dei casi potrò aspettarmi un rendimento dal mio portafoglio nel prossimo mese pari a - 1,65α = 0,1% - 1,65 * 0,25% = -0,3125%. Di conseguenza, dato che il valore del portafoglio è pari a 100.000 euro, mi aspetterò una perdita pari a 312,5 euro.

In altre parole, il portafoglio non dovrebbe perdere più dello 0,3125% nel prossimo mese, con un intervallo di confidenza del 95% (ci possiamo aspettare una perdita superiore allo 0,3125% con una probabilità del 5%). Questo -0,3125% è il VaR.

Si deve fare attenzione a non confondere il VaR con una perdita massima: il portafoglio potrebbe infatti subire perdite ben superiori, anche se con una probabilità minore di quella utilizzata nel calcolo del VaR. Uno dei limiti del VaR è proprio quello che non ci permette di conoscere l’ammontare medio delle perdite superiori al VaR stesso.

Il VaR può essere anche trasformato temporalmente moltiplicandolo per la radice quadrata del tempo nel modo seguente: se ho un VaR giornaliero e lo moltiplico per la radice quadrata di 21 ottengo il VaR mensile (un mese borsistico è mediamente composto da 21 giorni borsistici); se ho un VaR mensile e lo moltiplico per la radice quadrata di 12 ottengo il VaR annuale.

Nell’esempio precedente, potrò ottenere il VaR annuale moltiplicando -0,3125% (VaR mensile) per la radice quadrata di 12, ottenendo un valore pari a circa -1,0825%.

Conditional Value at Risk (CVaR)

Il Conditional Value at Risk (CVaR), detto anche Expected Shortfall (ES) o Expected Tail Loss (ETL), permette di superare alcuni dei limiti del VaR. Esso ci consente infatti di misurare il valore atteso della perdita che si registrerà qualora questa ecceda il VaR calcolato al livello di confidenza α.

Il Conditional Value at Risk è sempre maggiore del VaR e ci dà un’informazione più completa di quella offerta da quest’ultimo.

Come il VaR, anche Il Conditional Value at Risk è caratterizzato da due paramentri, che sono il livello di confidenza α e l’orizzonte temporale di rischio in base al quale viene calcolato. Nell’esempio precedente, a fronte di un VaR del -0,3125% potremmo scoprire che il CVaR è del -0,65% (valore esemplificativo che non è stato calcolato in modo esatto).

È un’informazione molto importante perché ci dà un’idea di quanto possiamo aspettarci di perdere in quel 5% di casi in cui la perdita ecceda il VaR. Permette inoltre di definire in modo più preciso la rischiosità di un portafoglio: due portafogli potrebbero avere VaR identici ma CVaR diversi.

Così come nel caso del VaR, dobbiamo fare attenzione a non confondere il Conditional Value at Risk con una perdita massima, che potrebbe essere ad esso superiore.

Vai alla Teoria Moderna del Portafoglio

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